Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{0.05 - x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05 - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05$ heraus.

$\frac{x^{2}}{0.05 (1) - x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $0.05$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{0.05 (1) + 0.05 (- 20 x)} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05 (1) + 0.05 (- 20 x)$ heraus.

$\frac{x^{2}}{0.05 (1 - 20 x)} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1 x^{2}}{0.05 (1 - 20 x)} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1.3

Separiere Brüche.

$\frac{1}{0.05} \cdot \frac{x^{2}}{1 - 20 x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1.4

Dividiere $1$ durch $0.05$ .

$20 \frac{x^{2}}{1 - 20 x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 1.5

Kombiniere $20$ und $\frac{x^{2}}{1 - 20 x}$ .

$\frac{20 x^{2}}{1 - 20 x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 - 20 x, 1, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$1 - 20 x, 1, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$1 - 20 x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{20 x^{2}}{1 - 20 x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$ mit $1 - 20 x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{20 x^{2}}{1 - 20 x} = 3.1 \cdot 10^{- 8}$ mit $1 - 20 x$ .

$\frac{20 x^{2}}{1 - 20 x} (1 - 20 x) = 3.1 \cdot 10^{- 8} (1 - 20 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 20 x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{2}}{1 - 20 x} (1 - 20 x) = 3.1 \cdot 10^{- 8} (1 - 20 x)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} (1 - 20 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} \cdot 1 + 3.1 \cdot 10^{- 8} (- 20 x)$

Schritt 3.3.2

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $3.1$ mit $1$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} + 3.1 \cdot 10^{- 8} (- 20 x)$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $3.1$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - 62 \cdot 10^{- 8} x$

Schritt 3.3.3

Verschiebe das Dezimaltrennzeichen in $- 62$ nach links um $1$ Stelle und erhöhe die Potenz von $10^{- 8}$ um $1$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - 6.2 \cdot 10^{- 7} x$

Schritt 3.3.4

Stelle die Faktoren in $3.1 \cdot 10^{- 8} - 6.2 \cdot 10^{- 7} x$ um.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - 6.2 x \cdot 10^{- 7}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - 6.2 x \cdot \frac{1}{10^{7}}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $10$ mit $7$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - 6.2 x \cdot \frac{1}{10000000}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- 6.2 x \frac{1}{10000000}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $- 6.2$ und $\frac{1}{10000000}$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} + x \frac{- 6.2}{10000000}$

Schritt 4.1.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 6.2}{10000000}$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} + \frac{x \cdot - 6.2}{10000000}$

Schritt 4.1.4

Bringe $- 6.2$ auf die linke Seite von $x$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} + \frac{- 6.2 \cdot x}{10000000}$

Schritt 4.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - \frac{6.2 \cdot x}{10000000}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $6.2$ aus $6.2 \cdot x$ heraus.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - \frac{6.2 (x)}{10000000}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $10000000$ aus $10000000$ heraus.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - \frac{6.2 (x)}{10000000 (1)}$

Schritt 4.1.8

Separiere Brüche.

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - (\frac{6.2}{10000000} \cdot \frac{x}{1})$

Schritt 4.1.9

Dividiere $6.2$ durch $10000000$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - (0.00000062 \frac{x}{1})$

Schritt 4.1.10

Dividiere $x$ durch $1$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - (0.00000062 x)$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $0.00000062$ mit $- 1$ .

$20 x^{2} = 3.1 \cdot 10^{- 8} - 0.00000062 x$

Schritt 4.2

Addiere $0.00000062 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{2} + 0.00000062 x = 3.1 \cdot 10^{- 8}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3.1 \cdot 10^{- 8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{2} + 0.00000062 x - 3.1 \cdot 10^{- 8} = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $0.00000002$ aus $20 x^{2} + 0.00000062 x - 3.1 \cdot 10^{- 8}$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $0.00000002$ aus $20 x^{2}$ heraus.

$0.00000002 (1000000000 x^{2}) + 0.00000062 x - 3.1 \cdot 10^{- 8} = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $0.00000002$ aus $0.00000062 x$ heraus.

$0.00000002 (1000000000 x^{2}) + 0.00000002 (31 x) - 3.1 \cdot 10^{- 8} = 0$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $0.00000002$ aus $- 3.1 \cdot 10^{- 8}$ heraus.

$0.00000002 (1000000000 x^{2}) + 0.00000002 (31 x) + 0.00000002 \cdot - 155000000 \cdot 10^{- 8} = 0$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere $0.00000002$ aus $0.00000002 (1000000000 x^{2}) + 0.00000002 (31 x)$ heraus.

$0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x) + 0.00000002 \cdot - 155000000 \cdot 10^{- 8} = 0$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $0.00000002$ aus $0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x) + 0.00000002 \cdot - 155000000 \cdot 10^{- 8}$ heraus.

$0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 155000000 \cdot 10^{- 8}) = 0$

Schritt 4.4.2

Verschiebe das Dezimaltrennzeichen in $- 155000000$ nach links um $8$ Stellen und erhöhe die Potenz von $10^{- 8}$ um $8$ .

$0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55 \cdot 10^{0}) = 0$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $- 1.55 \cdot 10^{0}$ nach der wissenschaftlichen Notation.

$0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55) = 0$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55) = 0$ durch $0.00000002$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55) = 0$ durch $0.00000002$ .

$\frac{0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55)}{0.00000002} = \frac{0}{0.00000002}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.00000002$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.00000002 (1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55)}{0.00000002} = \frac{0}{0.00000002}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55$ durch $1$ .

$1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55 = \frac{0}{0.00000002}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere $0$ durch $0.00000002$ .

$1000000000 x^{2} + 31 x - 1.55 = 0$

Schritt 4.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.7

Setze die Werte $a = 1000000000$ , $b = 31$ und $c = - 1.55$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (1000000000 \cdot - 1.55)}}{2 \cdot 1000000000}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1.1

Potenziere $31$ mit $2$ .

$x = \frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 4 \cdot 1000000000 \cdot - 1.55}}{2 \cdot 1000000000}$

Schritt 4.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1000000000 \cdot - 1.55$ .

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Schritt 4.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1000000000$ .

$x = \frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 4000000000 \cdot - 1.55}}{2 \cdot 1000000000}$

Schritt 4.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4000000000$ mit $- 1.55$ .

$x = \frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 6200000000}}{2 \cdot 1000000000}$

Schritt 4.8.1.3

Addiere $961$ und $6200000000$ .

$x = \frac{- 31 \pm \sqrt{6200000961}}{2 \cdot 1000000000}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1000000000$ .

$x = \frac{- 31 \pm \sqrt{6200000961}}{2000000000}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{31 - \sqrt{6200000961}}{2000000000}, - \frac{31 + \sqrt{6200000961}}{2000000000}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{31 - \sqrt{6200000961}}{2000000000}, - \frac{31 + \sqrt{6200000961}}{2000000000}$

Dezimalform:

$x = 3.93545424 \cdot 10^{- 5}, - 3.93855424 \cdot 10^{- 5}$